e-(外へ) + gress(=gradi 歩む) で『外へ歩み出る』。
同根は ingress(入る)・progress(前へ)・regress(後ろへ)・digress(脇へ逸れる) と語根 grad/gress を共有。
発音は名詞で語頭強勢 /ˈiːɡrɛs/。
日常の exit より格段にフォーマルで、防災・建築の means of egress(=避難経路)、契約の ingress and egress(=出入り) が定型。
音が紛らわしい egret(シラサギ) との取り違えに注意。